2. В параллелограмме ABCD точки K и P — середины сторон BC и CD, AB = b, AD = a. Выразить векторы AK и BP через векторы a и b.

Положим начало в точке A. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec b\), \(\overrightarrow{AD}=\vec a\), а по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

1. Так как K — середина BC, то \(\overrightarrow{BK}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\vec a\). Поэтому \(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\vec b+\frac12\vec a\).
2. Так как P — середина CD, то \(\overrightarrow{DP}=\frac12\overrightarrow{DC}=\frac12\vec b\). Следовательно, \(\overrightarrow{AP}=\vec a+\frac12\vec b\), и \(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\vec a-\frac12\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{BP}=\vec a-\frac12\vec b\).