2. В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон BC и CD, AB = a, AD = b. а) Выразите векторы AN и DM через векторы a и b. б) Докажите, что векторы DB и MN — коллинеарны.

Обозначим точку A началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), а из свойства параллелограмма \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

а) Так как N — середина CD, её радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов C и D:

\[\overrightarrow{AN}=\frac{(\vec a+\vec b)+\vec b}{2}=\frac12\vec a+\vec b.\]

Так как M — середина BC:

\[\overrightarrow{AM}=\frac{\vec a+(\vec a+\vec b)}{2}=\vec a+\frac12\vec b.\]

Следовательно, \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\vec a-\frac12\vec b\).

б) Выразим векторы DB и MN:

\[\overrightarrow{DB}=\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\frac12\vec a+\frac12\vec b=-\frac12(\vec a-\vec b).\]

Значит, \(\overrightarrow{MN}=-\frac12\overrightarrow{DB}\). Один вектор является числовым множителем другого, поэтому векторы коллинеарны.

Ответ: а) \(\overrightarrow{AN}=\frac12\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{DM}=\vec a-\frac12\vec b\); б) \(\overrightarrow{MN}=-\frac12\overrightarrow{DB}\), следовательно, DB и MN коллинеарны.