2. В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон BC и CD, AB = a, AD = b. Выразить векторы AN и DM через векторы a и b.

Пусть A — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=a\), \(\overrightarrow{AD}=b\), а по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AC}=a+b\).

Так как N — середина CD, её радиус-вектор равен среднему радиус-векторов C и D:

\(\overrightarrow{AN}=\dfrac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{2}=\dfrac{a+b+b}{2}=\dfrac12a+b.\)

Так как M — середина BC, \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}=\dfrac{a+(a+b)}{2}=a+\dfrac12b.\)

Вектор \(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=a+\dfrac12b-b=a-\dfrac12b.\)

Ответ: \(\overrightarrow{AN}=\dfrac12a+b\), \(\overrightarrow{DM}=a-\dfrac12b\).