2. В параллелограмме ABCD угол A равен 120°, а биссектриса этого угла пересекает сторону BC в точке K и делит её на отрезки BK = 4 и KC = 2. Найдите периметр параллелограмма. Определите вид четырёхугольника AKCD и найдите его периметр.

Так как биссектриса делит угол A пополам, \(\angle BAK=60^\circ\). В параллелограмме \(BC=BK+KC=4+2=6\), а противоположные стороны равны, поэтому \(AD=6\).

Поскольку \(BC\parallel AD\), треугольники ABK и ADB имеют равные углы при соответствующих параллельных сторонах. Из координатного соотношения вдоль биссектрисы (или из теоремы синусов в треугольнике ABK) получаем \(AB=5\): в треугольнике ABK углы при A и B равны 60° и 120°? Уточним: \(\angle ABK=180^\circ-\angle ABC=120^\circ\), поэтому \(\angle AKB=0^\circ\) невозможно; поскольку BK лежит на BC, угол ABK равен 120°, тогда при A угол BAK=60°, и сумма углов оставляет 0°. Следовательно, биссектриса не может пересечь BC при данных условиях.

Действительно, в параллелограмме при \(\angle A=120^\circ\) угол B равен 60°. Так как K лежит на BC, \(\angle ABK=\angle ABC=60^\circ\). Значит, \(\angle BAK=60^\circ\) и \(\triangle ABK\) равносторонний, откуда \(AB=BK=4\). Но тогда требуемая конфигурация согласуется: биссектриса образует равносторонний треугольник ABK.

Периметр параллелограмма: \(2(AB+BC)=2(4+6)=20\).

В четырёхугольнике AKCD стороны KC и AD параллельны, поэтому это трапеция. Кроме того, \(AK=AB=4\), \(KC=2\), \(CD=AB=4\), \(DA=6\).

Ответ: периметр параллелограмма — 20; AKCD — трапеция, её периметр равен 16.