2. В параллелограмме ABCD выразите через векторы $\vec b=\overrightarrow{BC}$ и $\vec a=\overrightarrow{BA}$ векторы $\overrightarrow{CN}$ и $\overrightarrow{MN}$, где N — точка, лежащая на AD такая, что AN:ND=2:1, M — середина MN.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В параллелограмме ABCD выразите через векторы $\vec b=\overrightarrow{BC}$ и $\vec a=\overrightarrow{BA}$ векторы…$ Фото задания

2. В параллелограмме ABCD выразите через векторы $\vec b=\overrightarrow{BC}$ и $\vec a=\overrightarrow{BA}$ векторы $\overrightarrow{CN}$ и $\overrightarrow{MN}$, где N — точка, лежащая на AD такая, что AN:ND=2:1, M — середина MN.

Accepted Answer

Поскольку $AN:ND=2:1$, точка N делит диагональ AD в отношении 2:1, считая от A. В параллелограмме $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\vec b$, поэтому $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\vec b$.

Для первого вектора используем путь C→A→N:

\[\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=-\vec b+\vec a+\frac{2}{3}\vec b=\vec a-\frac{1}{3}\vec b.\]

В условии буквально сказано, что M — середина MN. Середина отрезка MN может совпасть с его концом M только при M=N; следовательно, при таком буквальном прочтении $\overrightarrow{MN}=\vec 0$. Возможно, в обозначении отрезка, середину которого задаёт условие, допущена опечатка.

Ответ: $\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac{1}{3}\vec b$, а при буквальном прочтении условия $\overrightarrow{MN}=\vec 0$ (M=N).