2. В параллелограмме КММР проведена биссектриса угла К, которая пересекает сторону ММ в точке Е. а) Докажите, что треугольник КМЕ равнобедренный. б) Найдите сторону КР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Ого, второе задание — целый детектив с параллелограммами и биссектрисами! Давай размотаем этот клубок вместе.

Задание 2а: Докажем, что треугольник КМЕ равнобедренный

Что знаем:

• КММР — параллелограмм.
• КЕ — биссектриса ∠K.
• Точка Е лежит на стороне ММ.

Что нужно доказать:

• ∆KME — равнобедренный (то есть KM = ME или KE = KM или KE = ME).

Доказательство:

1. Свойства параллелограмма: Помнишь, у параллелограмма противоположные стороны параллельны (КМ || РЕ и КР || МЕ) и равны (КМ = РЕ, КР = МЕ). Также, при параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны.
2. Биссектриса: КЕ делит ∠K пополам, значит, ∠MKE = ∠EКР.
3. Накрест лежащие углы: Поскольку КМ || РЕ (это стороны параллелограмма), а КЕ — секущая, то накрест лежащие углы ∠MKE и ∠KEР равны.
4. Совпадение углов: Смотри, у нас получилось, что ∠MKE = ∠EКР (по определению биссектрисы) и ∠MKE = ∠KEР (как накрест лежащие). Отсюда следует, что ∠EКР = ∠KEР.
5. Треугольник КМЕ: Теперь посмотрим на ∆KME. Углы ∠MKE и ∠MEК (это тот же угол ∠KEР, что мы нашли выше) равны! А если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. Причем равны стороны, лежащие напротив этих углов: KM = ME.

Что и требовалось доказать!

Задание 2б: Найдем сторону КР

Что знаем теперь:

• КМ = ME (из пункта 2а).
• ME = 10 см (дано).
• Периметр КММР = 52 см (дано).

Найти:

• КР

Решение:

1. Находим сторону КМ: Так как КМ = ME и ME = 10 см, то сторона КМ тоже равна 10 см.
2. Периметр параллелограмма: Периметр — это сумма длин всех сторон. У параллелограмма две пары равных сторон: КМ = РЕ и КР = МЕ. Формула периметра: P = 2 * (КМ + КР).
3. Подставляем известные значения: Мы знаем периметр (52 см) и длину стороны КМ (10 см). Подставляем в формулу:

52 = 2 * (10 + КР)

• Разделим обе части на 2: 52 / 2 = 10 + КР
• 26 = 10 + КР
• Найдем КР: КР = 26 - 10
• КР = 16 см

Ответ:

• а) Треугольник КМЕ равнобедренный, так как ∠MKE = ∠MEК.
• б) Сторона КР равна 16 см.