2. В параллелограмме KMNP проведена бисектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Так как E лежит на стороне MN, луч ME совпадает с лучом MN. В параллелограмме KMNP стороны противоположны и параллельны: KM ∥ NP, MN ∥ KP. Биссектриса KE делит угол K пополам, поэтому ∠MKE = ∠EKP. Поскольку KP ∥ ME, углы ∠EKP и ∠KEM равны как накрест лежащие. Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, значит, противоположные им стороны равны: KM = ME. Итак, треугольник KME равнобедренный.

б) Из доказанного KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому

2(10 + KP) = 52,

10 + KP = 26,

KP = 16 см.

Ответ: а) KM = ME, поэтому треугольник KME равнобедренный; б) KP = 16 см.