2. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. Докажите: а) что треугольник KME равнобедренный; б) найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому KP ∥ MN, а значит, KP ∥ ME. Так как KE — биссектриса угла MKP, то ∠MKE = ∠EKP. Из параллельности ME ∥ KP следует, что ∠KEM = ∠EKP (накрест лежащие углы). Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, поэтому противолежащие им стороны равны: KM = ME. Значит, треугольник KME равнобедренный.

б) Из пункта а) KM = ME = 10 см. Пусть MN = KP = x см. Периметр параллелограмма:

\(2(KM+MN)=52\), поэтому \(KM+MN=26\).

Тогда \(10+x=26\), откуда \(x=16\).

Ответ: KP = 16 см.