2. В параллелограмме KMNP точка B - середина стороны MN, А - точка на отрезке PN, такая, что PA : AN = 2 : 1. Выразите векторы MA и AB через векторы m = KM и n = KP.

Решение:

Дано: Параллелограмм KMNP, B - середина MN, A - точка на PN, PA : AN = 2 : 1. Необходимо выразить \( \vec{MA} \) и \( \vec{AB} \) через \( \vec{m} = \vec{KM} \) и \( \vec{n} = \vec{KP} \).

В параллелограмме \( \vec{KM} = \vec{PN} = \vec{m} \) и \( \vec{KP} = \vec{MN} = \vec{n} \). Также \( \vec{KN} = \vec{KM} + \vec{KP} = \vec{m} + \vec{n} \).

1. Выразим вектор \( \vec{MA} \):

• Точка A лежит на отрезке PN, и PA : AN = 2 : 1. Это значит, что \( PN = PA + AN = 2AN + AN = 3AN \). Следовательно, \( AN = \frac{1}{3}PN \) и \( PA = \frac{2}{3}PN \).
• Так как \( \vec{PN} = \vec{KM} = \vec{m} \), то \( \vec{AN} = \frac{1}{3}\vec{PN} = \frac{1}{3}\vec{m} \).
• Вектор \( \vec{MA} = \vec{MK} + \vec{KA} \). Но проще использовать правило треугольника: \( \vec{MA} = \vec{MN} + \vec{NA} \).
• \( \vec{MN} = \vec{n} \).
• \( \vec{NA} = -\vec{AN} = -\frac{1}{3}\vec{m} \).
• Следовательно, \( \vec{MA} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} \).

2. Выразим вектор \( \vec{AB} \):

• Точка B — середина стороны MN. Значит, \( \vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{n} \).
• \( \vec{AB} = \vec{MB} - \vec{MA} \).
• Подставим найденные значения: \( \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{n} - \left( \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} \right) \)
• \( \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{n} - \vec{n} + \frac{1}{3}\vec{m} \)
• \( \vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n} \).

Ответ: \( \vec{MA} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} \), \( \vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n} \).