2. В параллелограмме KMNP выразите через векторы \(\vec m=\overrightarrow{KM}\) и \(\vec n=\overrightarrow{KP}\) векторы \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{AB}\), где A — точка стороны PN, такая, что PA:AN=2:1, B — середина отрезка MN.

Положим начало в точку K. Тогда положение вершин задаётся векторами: \(\overrightarrow{KM}=\vec m\), \(\overrightarrow{KP}=\vec n\), а \(\overrightarrow{KN}=\vec m+\vec n\).

Так как \(PA:AN=2:1\), точка A делит PN в отношении 2:1 от P к N:

\(\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KP}+\frac23\overrightarrow{PN}=\vec n+\frac23\vec m\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n-\frac13\vec m\).

Точка B — середина MN, поэтому \(\overrightarrow{KB}=\frac12(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN})=\vec m+\frac12\vec n\). Тогда

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}= -\frac16\vec m-\frac12\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m\), \(\overrightarrow{AB}=-\frac16\vec m-\frac12\vec n\).