2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 6 см, высота пирамиды равна 8 см. Найти площадь поверхности и объем.

Решение:

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания \( a = 6 \text{ см} \).

Высота пирамиды \( h = 8 \text{ см} \).

Найти:

Площадь поверхности \( S_{полн} \) и объём \( V \).

1. Площадь поверхности:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

1.1. Площадь основания:

Основание — квадрат со стороной \( a = 6 \text{ см} \).

\( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \).

1.2. Площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников. Для нахождения площади одного треугольника нам нужно знать его апофему \( l \).

Сначала найдём апофему \( l \). Апофема — это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и апофемой \( l \) (как гипотенузой).

\( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \).

По теореме Пифагора: \( l^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 \).

\[ l^2 = 8^2 + 3^2 = 64 + 9 = 73 \]

\[ l = \sqrt{73} \text{ см} \).

Площадь одного бокового треугольника равна: \( S_{тр} = \frac{1}{2} × a × l = \frac{1}{2} × 6 × \sqrt{73} = 3\sqrt{73} \text{ см}^2 \).

Площадь всей боковой поверхности: \( S_{бок} = 4 × S_{тр} = 4 × 3\sqrt{73} = 12\sqrt{73} \text{ см}^2 \).

1.3. Общая площадь поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 12\sqrt{73} \text{ см}^2 \).

2. Объём пирамиды:

Объём пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} × h \).

\[ V = \frac{1}{3} × 36 × 8 \]

\[ V = 12 × 8 = 96 \(\text{ см}\)^3 \).

Ответ: Площадь поверхности равна \( 36 + 12\sqrt{73} \text{ см}^2 \), объём равен \( 96 \text{ см}^3 \).