2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Запишите в градусах.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде основанием является равносторонний треугольник. Высота пирамиды падает в центр основания — точку пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы).

Пусть пирамида — ABCH, высота — OH = 2 см. Основание — равносторонний треугольник ABC со стороной \( a = 2\sqrt{3} \) см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром и его проекцией на плоскость основания. Например, для ребра AH, его проекция на плоскость основания — это отрезок OH, где O — центр основания.

Найдем радиус описанной окружности около основания (R), который равен расстоянию от центра до вершины треугольника. Для равностороннего треугольника:

\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \)

Подставим значение стороны основания \( a = 2\sqrt{3} \) см:

\( R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOH, где OH — высота пирамиды (2 см), AO — радиус описанной окружности (2 см), AH — боковое ребро.

Угол наклона бокового ребра AH к плоскости основания — это угол \( \angle AHO \).

В треугольнике AOH катеты AO и OH равны: \( AO = 2 \) см, \( OH = 2 \) см.

Так как катеты равны, то треугольник AOH — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, углы при гипотенузе равны \( 45^{\circ} \).

\( \angle OAH = \angle OHA = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

Значит, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен \( 45^{\circ} \).

Ответ: 45.