2. В прямоугольнике ABCD на сторонах BC и AD взяты точки E и F так, что AB = BE и CD = FD. а) Докажите, что AE — биссектриса угла BAD и CF — биссектриса угла BCD; б) определите вид четырёхугольника AECF.

Пусть сторона прямоугольника AB = CD = a, а BC = AD = b. Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), C(a; b), D(0; b). Тогда из условий BE = a и FD = a получаем E(a; a), F(0; b − a).

а) Угол BAD прямой. В прямоугольном треугольнике ABE катеты AB и BE равны, поэтому ∠BAE = 45°. Следовательно, AE делит угол BAD пополам.

Угол BCD также прямой. В треугольнике CDF катеты CD и DF равны, поэтому ∠DCF = 45°. Следовательно, CF делит угол BCD пополам.

б) В четырёхугольнике AECF стороны AE и CF параллельны: их направляющие векторы равны (a; a). Стороны EC и FA также параллельны: обе вертикальны. Значит, AECF — параллелограмм.

Если b = a, то E совпадает с C, а F — с A, поэтому четырёхугольник вырождается. Для невырожденного прямоугольника, удовлетворяющего условию (b > a), AECF — параллелограмм.

Ответ: а) AE и CF — биссектрисы указанных углов; б) AECF — параллелограмм (при b > a).