2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра: AB = 5, AD = 4, AA₁ = 9. Точка O принадлежит ребру BB₁ и делит его в отношении 4:5, считая от вершины B. а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C₁, — параллелограмм. б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C₁.

Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), оси направим вдоль рёбер \(AB\), \(AD\), \(AA_1\). Тогда \(B=(5,0,0)\), \(D=(0,4,0)\), \(C_1=(5,4,9)\).

Так как \(BO:OB_1=4:5\), а \(BB_1=9\), то \(BO=\frac{4}{9}\cdot 9=4\), поэтому \(O=(5,0,4)\).

Плоскость через \(A\), \(O\), \(C_1\) задаётся уравнением \(-16x-25y+20z=0\). На ребре \(DD_1\) имеем \(x=0\), \(y=4\), поэтому \(-100+20z=0\), откуда \(z=5\). Обозначим точку пересечения через \(P=(0,4,5)\). Значит, сечение — четырёхугольник \(AOC_1P\).

Векторы его противоположных сторон равны: \(\overrightarrow{AO}=(5,0,4)=\overrightarrow{PC_1}\), а \(\overrightarrow{OC_1}=(0,4,5)=\overrightarrow{AP}\). Следовательно, противоположные стороны попарно параллельны, поэтому \(AOC_1P\) — параллелограмм.

Площадь найдём как модуль векторного произведения соседних сторон:

\(S=|\overrightarrow{AO}\times\overrightarrow{OC_1}|=|(-16,-25,20)|=\sqrt{(-16)^2+(-25)^2+20^2}=\sqrt{1281}.\)

Ответ: \(\sqrt{1281}\) кв. ед.