2. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высо-та СН из вершины прямого угла С, а в треугольнике АСН - биссектриса СЕ. Докажите, что СВ = BE.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \), \( CH \) — высота. Следовательно, \( \angle ACH = \angle B \) и \( \angle BCH = \angle A \).

В треугольнике \( ACH \), \( CE \) — биссектриса. По свойству биссектрисы, она делит противоположную сторону \( AH \) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \( \frac{AE}{EH} = \frac{AC}{CH} \).

Рассмотрим треугольник \( ACH \). Так как \( CH \) — высота, то \( \angle CHA = 90^{\circ} \). Так как \( CE \) — биссектриса \( \angle ACH \), то \( \angle ACE = \angle ECH = \frac{1}{2} \angle ACH \).

Из того, что \( \angle ACH = \angle B \), следует, что \( \frac{1}{2} \angle ACH = \frac{1}{2} \angle B \).

Рассмотрим треугольник \( BCE \). Мы хотим доказать, что \( CB = BE \), то есть что треугольник \( BCE \) равнобедренный с основанием \( CE \). Это верно, если \( \angle BCE = \angle BEC \).

Из подобия треугольников \( ABC \) и \( ACH \) следует, что \( \angle CAH = \angle CCH \).

Из \( \angle ACH = \angle B \) и \( CE \) — биссектриса \( \angle ACH \), то \( \angle ACE = \angle ECH = \frac{1}{2} \angle ACH = \frac{1}{2} \angle B \).

В треугольнике \( CBE \):

• \( \angle CBE = \angle B \)
• \( \angle CEB \) — внешний угол треугольника \( AE C \). В треугольнике \( AEC \), \( \angle AEC = 180^{\circ} - \angle CAE - \angle ACE \). \( \angle CAE = \angle A \). \( \angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACH = \frac{1}{2} \angle B \).
• \( \angle CEB = 180^{\circ} - \angle AEC = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle A - \frac{1}{2} \angle B) = \angle A + \frac{1}{2} \angle B \).

Для того чтобы \( CB = BE \), необходимо, чтобы \( \angle BCE = \angle BEC \).

\( \angle BCE = \angle BCA - \angle ACE = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B \).

Приравниваем \( \angle BCE \) и \( \angle BEC \):

\( 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B = \angle A + \frac{1}{2} \angle B \)

\( 90^{\circ} = \angle A + \angle B \). Это верно, так как \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \).

Следовательно, \( \angle BCE = \angle BEC \), а значит, треугольник \( BCE \) равнобедренный.

Таким образом, \( CB = BE \).

Доказано.