2. В прямоугольном треугольнике АВС точка О — середина медианы СН, проведенной к гипотенузе АB, AC = 6 см, ВС = 8 см. Найдите площадь треугольника ОВС.

Решение:

1. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора: \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.
2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, \( CH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} · 10 = 5 \) см.
3. Точка O — середина медианы CH, поэтому \( CO = OH = \frac{1}{2} CH = \frac{1}{2} · 5 = 2.5 \) см.
4. Площадь треугольника ABC: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} · 6 · 8 = 24 \) см².
5. Медиана CH делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника: \( S_{ACH} = S_{BCH} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} · 24 = 12 \) см².
6. Рассмотрим треугольник BCH. CO — медиана в треугольнике BCH (так как O — середина CH). Медиана делит треугольник на два равновеликих.
7. Площадь треугольника OВС: \( S_{OBC} = \frac{1}{2} S_{BCH} = \frac{1}{2} · 12 = 6 \) см².

Ответ: 6 см².