2. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 16, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4√7.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, \( ∠A = 90^\circ \), \( ∠B = 90^\circ \). \( AD ‖ BC \). \( BD = 16 \). \( BC = 4√7 \). Нужно найти большую боковую сторону. Боковые стороны — \( AB \) и \( CD \).

Так как \( ∠A = 90^\circ \) и \( ∠B = 90^\circ \), то \( AB \) — высота трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABD \). \( ∠BAD = 90^\circ \), \( BD = 16 \). Нам нужно найти \( AB \) или \( CD \).

Из условия \( ∠A = 45^\circ \) — это неверно. В прямоугольной трапеции углы при одном из оснований равны 90 градусов. Угол \( A \) равен 90 градусов. Возможно, имеется в виду угол между боковой стороной \( CD \) и большим основанием \( AD \) или меньшим основанием \( BC \).

Предположим, что \( ∠D = 45^\circ \) или \( ∠C = 45^\circ \) или \( ∠CAD = 45^\circ \) или \( ∠BDC = 45^\circ \).

Если \( ∠A = 45^\circ \) было бы дано, это означало бы, что трапеция не прямоугольная, а просто трапеция с одним прямым углом. Но если \( ∠A = 90^\circ \) и \( ∠B = 90^\circ \), то \( ∠A = 45^\circ \) не имеет смысла.

Проверим условие, возможно, речь идет об угле при основании \( AD \), например, \( ∠ADC = 45^\circ \) или \( ∠D = 45^\circ \).

Если \( ∠D = 45^\circ \), то в прямоугольном \( △ ABD \) (где \( ∠A = 90^\circ \) и \( ∠D = 45^\circ \)), то \( ∠ABD = 45^\circ \). \( △ ABD \) — равнобедренный, \( AB = AD \).

В прямоугольной трапеции \( ABCD \), \( BC ‖ AD \). Опустим высоту \( CH \) из \( C \) на \( AD \). Тогда \( ABCH \) — прямоугольник. \( AH = BC = 4√7 \). \( CH = AB \). \( HD = AD - AH \).

В прямоугольном \( △ CHD \): \( ∠D = 45^\circ \), \( ∠CHD = 90^\circ \). \( ∠HCD = 45^\circ \). \( △ CHD \) — равнобедренный, \( CH = HD \).

Значит, \( AB = HD \).

Мы имеем \( AD = AH + HD = BC + AB \). \( AD = 4√7 + AB \).

В прямоугольном \( △ ABD \): \( BD^2 = AB^2 + AD^2 \).

\[ 16^2 = AB^2 + (4√7 + AB)^2 \]

\[ 256 = AB^2 + (16 • 7 + 8√7 • AB + AB^2) \]

\[ 256 = AB^2 + 112 + 8√7 AB + AB^2 \]

\[ 2AB^2 + 8√7 AB + 112 - 256 = 0 \]

\[ 2AB^2 + 8√7 AB - 144 = 0 \]

\[ AB^2 + 4√7 AB - 72 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( AB \).

\[ D = (4√7)^2 - 4 • 1 • (-72) = 16 • 7 + 288 = 112 + 288 = 400 \]

\[ √ D = 20 \]

\[ AB = – \frac{4√7 ± 20}{2} \]

Так как \( AB > 0 \), то \( AB = – \frac{4√7 - 20}{2} = 10 - 2√7 \). Это значение \( AB \) — высота.

Теперь найдём \( CD \).

\( CD \) — это боковая сторона. \( HD = AB = 10 - 2√7 \).

\( AD = AH + HD = 4√7 + (10 - 2√7) = 10 + 2√7 \).

В прямоугольном \( △ CHD \): \( CH = AB = 10 - 2√7 \), \( HD = 10 - 2√7 \).

\[ CD^2 = CH^2 + HD^2 = (10 - 2√7)^2 + (10 - 2√7)^2 = 2(10 - 2√7)^2 \]

\[ CD = √2 (10 - 2√7) = 10√2 - 2√14 \). Это боковая сторона \( CD \).

Сравним \( AB = 10 - 2√7 \) и \( CD = 10√2 - 2√14 \).

\( 2√7 ≈ 2 • 2.64 = 5.28 \). \( AB ≈ 10 - 5.28 = 4.72 \).

\( 10√2 ≈ 10 • 1.41 = 14.1 \). \( 2√14 ≈ 2 • 3.74 = 7.48 \). \( CD ≈ 14.1 - 7.48 = 6.62 \).

Таким образом, \( CD \) — большая боковая сторона.

Ответ: 10√2 - 2√14