2. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который меньшая диагональ составляет с меньшим основанием, равны по 60°. Найдите отношение оснований.

Пусть меньшее основание равно a, большее — b, высота — h. Обозначим через d = b − a разность оснований. В прямоугольной трапеции диагонали имеют длины √(a² + h²) и √(b² + h²), поэтому меньшая диагональ соответствует меньшему основанию и образует с ним угол 60°.

Из прямоугольного треугольника у этой диагонали: tan 60° = h/a, значит, h = √3a.

Острый угол трапеции находится у большего основания. В прямоугольном треугольнике с катетами h и d его тангенс равен h/d. Тогда tan 60° = h/d, откуда d = a.

Следовательно, b = a + d = 2a, поэтому отношение большего основания к меньшему равно 2:1.

Ответ: 2:1.