2. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AB\) проведена медиана \(CC_1\). а) Упростите выражение \(\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\). б) Найдите \(\left|\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right|\), если \(AC=5\) см, \(AB=6\) см.

а) Так как \(CC_1\) — медиана, точка \(C_1\) является серединой \(AB\). Поэтому \(\overrightarrow{BC_1}= frac12\overrightarrow{BA}=- frac12\overrightarrow{AB}\). Кроме того, \(-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}\).

Подставим и сгруппируем векторы:

\(\overrightarrow{BC_1}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=- frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+ frac12\overrightarrow{AB}\).

Поскольку \(C_1\) — середина \(AB\), \(\overrightarrow{C_1A}=- frac12\overrightarrow{AB}\), следовательно, \(\overrightarrow{CA}+ frac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{C_1A}=\overrightarrow{CC_1}\).

б) Значит, требуется найти длину медианы \(CC_1\). В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому \(AC_1= \frac{AB}{2}=3\) см и треугольник \(ACC_1\) прямоугольный.

По теореме Пифагора:

\(CC_1=\sqrt{AC^2-AC_1^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\) см.

Ответ: а) \(\overrightarrow{CC_1}\); б) 4 см.