2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC сумма углов А и С равна 156°. Найти: углы треугольника ABC. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники ABC и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Доказать: AB || CD.

Задача 2

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠A = ∠C. По условию, ∠A + ∠C = 156°.

Значит, ∠A = ∠C = 156° / 2 = 78°.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Поэтому:

∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 156° = 24°.

Ответ: ∠A = 78°, ∠B = 24°, ∠C = 78°.

Задача 3

Дано:

• △ABC и △ADC — равнобедренные прямоугольные.
• ∠B = ∠D = 90°.
• Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

1. Рассмотрим △ABC. Он равнобедренный прямоугольный, значит, ∠BAC = ∠BCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.
2. Рассмотрим △ADC. Он также равнобедренный прямоугольный, значит, ∠DAC = ∠DCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.
3. Угол ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 45° + 45° = 90°.
4. Угол ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 45° + 45° = 90°.
5. Рассмотрим прямую AC и секущие AB и CD.
6. ∠BAC и ∠DCA являются накрест лежащими углами при прямых AB, CD и секущей AC.
7. Так как ∠BAC = 45° и ∠DCA = 45°, то ∠BAC = ∠DCA.
8. По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
9. Следовательно, AB || CD.

Что и требовалось доказать.