2. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) точка \(B_1\) — середина основания \(AC\). а) Упростите выражение \(\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}\). б) Найдите \(\left|\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}\right|\), если \(AB=10\) см, \(BB_1=8\) см.

а) По правилу сложения векторов вдоль пути \(B_1\to B\to A\) имеем \(\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B_1A}\). Также \(-\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{CB_1}\). Поэтому

\[\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{CB_1}.\]

Так как \(B_1\) — середина \(AC\), векторы \(\overrightarrow{B_1A}\) и \(\overrightarrow{CB_1}\) равны: оба направлены от середины основания к вершине \(A\), и их длины равны. Следовательно, выражение равно \(2\overrightarrow{B_1A}\).

б) В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому \(AB_1\perp BB_1\). Из пункта а) длина выражения равна \(2AB_1\). В прямоугольном треугольнике \(ABB_1\) по теореме Пифагора:

\[AB_1=\sqrt{AB^2-BB_1^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\text{ см}.\]

Тогда длина вектора-результата равна \(2\cdot6=12\) см.

Ответ: а) \(2\overrightarrow{B_1A}\); б) 12 см.