2. В равнобедренном треугольнике ABC точка B₁ — середина основания AC. а) Упростите выражение \(\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}\). б) Найдите модуль этого выражения, если \(AB=10\) см, \(BB_1=8\) см.

а) Так как \(B_1\) — середина основания \(AC\), точка \(B_1\) является также основанием высоты, поэтому \(AB_1\perp BB_1\).

Используем координаты: пусть \(B_1=(0,0)\), \(B=(0,h)\), \(A=(-x,0)\), \(C=(x,0)\). Тогда

\(\overrightarrow{B_1B}=(0,h)\), \(\overrightarrow{AB}=(x,h)\), \(\overrightarrow{B_1C}=(x,0)\).

Следовательно,

\[\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}=(0,h)-(x,h)-(x,0)=(-2x,0)=\overrightarrow{CA}.\]

б) В прямоугольном треугольнике \(ABB_1\):

\[AB_1=\sqrt{AB^2-BB_1^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\text{ см}.\]

Так как \(B_1\) — середина \(AC\), то \(AC=2AB_1=12\) см. Поэтому

\[\left|\overrightarrow{B_1B}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B_1C}\right|=|\overrightarrow{CA}|=12\text{ см}.\]

Ответ: а) \(\overrightarrow{CA}\); б) \(12\) см.