2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 10 см и высотой ВН = 8 см, угол ВСА = 30°. Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

1. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Высота ВН = 8 см. Основание АС = 10 см.

Так как треугольник равнобедренный, высота ВН является также медианой и биссектрисой. Поэтому она делит основание АС пополам:

\[ AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВНС. Нам известны катеты ВН = 8 см и НС = 5 см.

Найдем длину боковой стороны ВС по теореме Пифагора:

\[ BC^2 = BH^2 + HC^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89 \]

\[ BC = \sqrt{89} \text{ см} \]

3. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит:

\[ AB = BC = \sqrt{89} \text{ см} \]

4. Периметр треугольника АВС равен сумме длин всех его сторон:

\[ P = AB + BC + AC = \sqrt{89} + \sqrt{89} + 10 = 2\sqrt{89} + 10 \text{ см} \]

Примечание: В условии дан угол \( \angle BCA = 30° \), но эта информация избыточна, так как задачи решаются с помощью данных длин сторон и высоты. Проверим согласованность данных: в прямоугольном треугольнике ВНС \( \tan(\angle BCA) = \frac{BH}{HC} = \frac{8}{5} = 1.6 \). \( \arctan(1.6) \approx 58° \), что противоречит условию \( \angle BCA = 30° \). Будем решать, исходя из длин сторон и высоты.

Ответ: Периметр треугольника равен \( 10 + 2\sqrt{89} \) см.