№2. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 см и боковой стороной 10 см вписана окружность. Найдите расстояние от вершины основания до точки касания окружности с боковой стороной.

Решение:

1. Обозначим треугольник: Пусть дан равнобедренный треугорный ABC, где AB = BC = 10 см (боковые стороны), а AC = 12 см (основание).
2. Проведем высоту: Опустим высоту BD из вершины B на основание AC. Так как треугольник равнобедренный, высота BD является также медианой и биссектрисой. Следовательно, D — середина AC, и AD = DC = 12/2 = 6 см.
3. Найдем высоту BD: В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора: BD² + AD² = AB².
   BD² + 6² = 10²
   BD² + 36 = 100
   BD² = 100 - 36 = 64
   BD = √64 = 8 см.
4. Рассмотрим вписанную окружность: Пусть O — центр вписанной окружности, а r — её радиус. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе (и высоте) BD.
5. Найдем радиус окружности (r): Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:
   1) S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 12 * 8 = 48 см².
   2) S = p * r, где p — полупериметр треугольника.
   Полупериметр p = (10 + 10 + 12) / 2 = 32 / 2 = 16 см.
   Теперь найдем радиус: 48 = 16 * r => r = 48 / 16 = 3 см.
6. Найдем расстояние от вершины A до точки касания: Пусть точка касания окружности с боковой стороной AB будет E. Центр окружности O лежит на BD. OD = r = 3 см.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник AEO: В этом треугольнике AO — гипотенуза, OE = r = 3 см (радиус, перпендикулярный касательной AB).
   Найдем длину AO. Треугольник AEO подобен треугольнику ABD (по двум углам: прямой угол и угол при вершине A).
   Соответственно, AO / AB = OE / BD.
   AO / 10 = 3 / 8
   AO = (10 * 3) / 8 = 30 / 8 = 15 / 4 = 3.75 см.
8. Найдем расстояние AE: В прямоугольном треугольнике AEO по теореме Пифагора: AE² + OE² = AO².
   AE² + 3² = (15/4)²
   AE² + 9 = 225 / 16
   AE² = 225 / 16 - 9 = (225 - 144) / 16 = 81 / 16
   AE = √(81 / 16) = 9 / 4 = 2.25 см.

Ответ: 2.25 см