2*. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции, если известно, что боковая сторона в два раза меньше большего основания.

Обозначим большее основание через \(B\), меньшее — через \(b\), боковую сторону — через \(l\), а высоту — через \(h\). Пусть горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(x\). Тогда \(x=\frac{B-b}{2}\), а проекция диагонали на основание равна \(\frac{B+b}{2}\).

По условию \(l=\frac{B}{2}\). Из перпендикулярности диагонали и боковой стороны следует равенство произведения их горизонтальных проекций произведению вертикальных проекций:

\[h^2=x\cdot\frac{B+b}{2}=\frac{B^2-b^2}{4}.\]

Для боковой стороны по теореме Пифагора:

\[l^2=x^2+h^2=\frac{(B-b)^2}{4}+\frac{B^2-b^2}{4}=\frac{B(B-b)}{2}.\]

Подставим \(l=\frac{B}{2}\):

\[\frac{B^2}{4}=\frac{B(B-b)}{2},\qquad b=\frac{B}{2}.\]

Тогда \(x=\frac{B}{4}\). В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной и высотой, косинус острого угла трапеции равен \(\frac{x}{l}=\frac{B/4}{B/2}=\frac12\). Значит, острый угол равен \(60^\circ\). Соседние углы трапеции supplementary: их сумма равна \(180^\circ\), поэтому тупой угол равен \(120^\circ\).

Ответ: углы трапеции — \(60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 120^\circ\).