2. В ромбе ABCD BD = 6 см, ∠BDC = 60°. а) Найдите углы ромба. б) Найдите периметр ромба. в) Определите вид четырехугольника ABMD, где M — середина BC.

а) Диагональ ромба BD делит угол D пополам, поэтому \(\angle ADC=2\cdot60°=120°\). Противоположные углы ромба равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит, \(\angle A=\angle C=60°\), \(\angle B=\angle D=120°\).

б) В треугольнике BDC стороны BC и CD равны, поскольку это стороны ромба. Угол BCD равен 60° — это угол C ромба. Тогда равнобедренный треугольник BDC равносторонний, следовательно, \(BC=CD=BD=6\) см. Периметр ромба: \(P=4\cdot6=24\) см.

в) Возьмём координаты \(D=(0,0)\), \(C=(6,0)\), \(B=(3,3\sqrt3)\). Тогда, поскольку ABCD — параллелограмм, \(A=(9,3\sqrt3)\), а середина BC — \(M=(4.5,1.5\sqrt3)\). У четырёхугольника ABMD нет параллельных противоположных сторон: AB и MD не параллельны, как и BM и DA. Поэтому это выпуклый четырёхугольник общего вида, не трапеция.

Ответ: а) \(\angle A=\angle C=60°\), \(\angle B=\angle D=120°\); б) 24 см; в) выпуклый четырёхугольник общего вида.