2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке E. Угол B тупой. На стороне AD взята точка K так, что BK перпендикулярна AD. Прямые BK и AC пересекаются в точке O, AC = 2BK. Найдите угол AOB.

Обозначим BK = h, AD = s, AK = x. Так как BK ⟂ AD, удобно рассмотреть прямоугольные треугольники с катетами, параллельными AD и BK.

Поскольку угол B ромба тупой, проекция точки B на прямую AD лежит на луче AD за точкой A. Поэтому горизонтальная составляющая диагонали AC равна s + x, а вертикальная — h. Из условия AC = 2BK получаем:

\((s+x)^2+h^2=(2h)^2\), значит \(s+x=\sqrt{3}h\).

Точка O лежит на AC и на перпендикуляре BK. В прямоугольном треугольнике AOK угол между AO (частью AC) и AD имеет тангенс \(h/(s+x)=1/\sqrt{3}\), поэтому этот угол равен 30°. Так как OB ⟂ AD, угол между лучами OA и OB равен \(90°-30°=60°\).

Ответ: ∠AOB = 60°.