Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. В ромбе ABCD с острым углом ABC из вершины C опущен перпендикуляр CH на сторону AD. Найдите острый угол между биссектрисой…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Так как ABCD — ромб, то AB || CD и AD || BC. Также все стороны ромба равны: AB = BC = CD = AD. Углы прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°, то есть \( \angle ABC + \angle BCD = 180° \) и \( \angle BCD + \angle CDA = 180° \). Диагонали ромба делят углы пополам и являются биссектрисами.
  2. В ромбе ABCD, \( \angle ABC \) — острый, значит \( \angle ADC \) — тупой.
  3. CH — высота, проведенная из вершины C к стороне AD. Треугольник CHD — прямоугольный.
  4. В ромбе ABCD, \( \angle BCD = 180° - \angle ABC \). Диагональ AC делит \( \angle BCD \) пополам, значит \( \angle ACB = \angle ACD = \frac{1}{2} \angle BCD \).
  5. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. \( \angle DCH + \angle CDH = 90° \).
  6. Мы знаем, что \( \angle ACH = 18° \).
  7. \( \angle ACD = \angle ACH + \angle HCD \).
  8. Так как \( \angle ACD = \frac{1}{2} \angle BCD \) и \( \angle ABC \) — острый, то \( \angle BCD \) — тупой, и \( \angle ACD > 90° / 2 = 45° \).
  9. Рассмотрим треугольник ABС. \( \angle BAC = \angle CAD \) (диагональ делит угол пополам), \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle BCD \).
  10. В треугольнике ABС, \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
  11. Так как AB || CD, то \( \angle CAD = \angle ACD \) (накрест лежащие углы).
  12. В прямоугольном треугольнике CHD: \( \angle C H D = 90° \). \( \angle C D H = \angle CDA \).
  13. \( \angle DCH = 90° - \angle CDA \).
  14. \( \angle ACD = \angle ACB + \angle ACD \).
  15. \( \angle BCD = 2 \angle ACD \).
  16. \( \angle ABC = 180° - \angle BCD \).
  17. Из \( \angle CAD = \angle ACD \) и \( \angle ACH = 18° \), мы имеем \( \angle ACD = \angle ACH + \angle HCD = 18° + \angle HCD \).
  18. Таким образом, \( \angle CAD = 18° + \angle HCD \).
  19. Также, \( \angle ACB \) — это биссектриса угла \( \angle BCD \).
  20. В ромбе, \( \angle ADC = 180° - \angle ABC \).
  21. Пусть \( \angle ABC = \alpha \) (острый угол). Тогда \( \angle BCD = 180° - \alpha \) (тупой угол).
  22. \( \angle ACB = \frac{1}{2}(180° - \alpha) = 90° - \frac{\alpha}{2} \).
  23. \( \angle CAD = \angle ACB = 90° - \frac{\alpha}{2} \) (накрест лежащие углы при AB || BC, и секущей AC).
  24. В прямоугольном треугольнике ACH, \( \angle CAH + \angle ACH = 90° \).
  25. \( \angle CAH = \angle CAD \).
  26. Значит, \( \angle CAD + \angle ACH = 90° \).
  27. \( \angle CAD + 18° = 90° \).
  28. \( \angle CAD = 90° - 18° = 72° \).
  29. Так как \( \angle CAD = 72° \), то \( \angle ACB = 72° \) (так как \( \angle ACB = \angle CAD \) как накрест лежащие при AD || BC и секущей AC).
  30. Угол между биссектрисой угла ACB и стороной AB. Биссектриса угла ACB — это сама AC.
  31. Угол между AC и AB — это \( \angle CAB \).
  32. \( \angle CAB = \angle CAD = 72° \).
  33. Мы ищем угол между биссектрисой угла ACB (это AC) и стороной AB (это AB). Этот угол равен \( \angle CAB \).
  34. \( \angle CAB = \angle CAD = 72° \).
  35. Однако, в условии сказано: "острый угол между биссектрисой угла ACB и стороной AB".
  36. Поскольку \( \angle ABC \) — острый угол ромба, то \( \angle BCD \) — тупой. \( \angle ACB \) — половина тупого угла.
  37. Если \( \angle CAD = 72° \), то \( \angle BAC = 72° \).
  38. \( \angle ABC = 180° - 2 \times 72° = 180° - 144° = 36° \) (это острый угол).
  39. \( \angle BCD = 180° - 36° = 144° \).
  40. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2} \times 144° = 72° \).
  41. \( \angle ACD = 72° \).
  42. В треугольнике ACH, \( \angle CAH = \angle CAD = 72° \). \( \angle ACH = 18° \). \( \angle AHC = 90° \).
  43. \( \angle CAH + \angle ACH = 72° + 18° = 90° \). Это соответствует прямоугольному треугольнику.
  44. Нам нужно найти острый угол между биссектрисой угла ACB и стороной AB.
  45. Биссектрисой угла ACB является луч CL, где \( \angle ACL = \angle LCB \).
  46. Однако, AC — это диагональ, а не биссектриса угла ACB.
  47. В ромбе диагонали делят углы пополам. Значит, AC — биссектриса \( \angle BCD \).
  48. Значит, \( \angle ACB = \angle ACD \).
  49. Но в условии сказано "биссектрисой угла ACB". Это означает, что есть другая линия, которая делит \( \angle ACB \) пополам.
  50. Давайте перечитаем условие: "Найдите острый угол между биссектрисой угла ACB и стороной AB".
  51. Диагональ AC делит \( \angle BCD \) пополам, поэтому \( \angle ACB = \angle ACD \).
  52. Рассмотрим \( \triangle ACD \). \( \angle ADC = 180° - \angle ABC \). \( \angle CAD = \angle ACB \) (накрест лежащие). \( \angle ACD = \angle BAC \) (накрест лежащие).
  53. В \( \triangle ACH \), \( \angle AHC = 90° \). \( \angle ACH = 18° \). \( \angle CAH = 90° - 18° = 72° \).
  54. \( \angle CAD = \angle CAH = 72° \).
  55. Так как \( \angle CAD = \angle ACB \) (накрест лежащие), то \( \angle ACB = 72° \).
  56. \( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD \). \( \angle ACD = \angle BAC \).
  57. \( \angle BAC = 180° - \angle ABC - \angle ACB \).
  58. \( \angle BAC = 180° - \angle ABC - 72° \).
  59. \( \angle ABC = 180° - \angle BCD \). \( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 72° + \angle ACD \).
  60. \( \angle ABC = 180° - (72° + \angle ACD) \).
  61. \( \angle BAC = 180° - (180° - 72° - \angle ACD) - 72° = 72° + \angle ACD - 72° = \angle ACD \).
  62. Значит, \( \angle BAC = \angle ACD \).
  63. Это подтверждает, что AC — диагональ.
  64. Итак, \( \angle ACB = 72° \).
  65. Теперь найдем биссектрису угла ACB. Пусть эта биссектриса будет CL. Тогда \( \angle ACL = \angle LCB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \times 72° = 36° \).
  66. Нам нужно найти угол между биссектрисой CL и стороной AB.
  67. \( \angle BAC = \angle ACD \). \( \angle ABC + \angle BCD = 180° \). \( \angle BCD = 2 \times \angle ACB = 2 \times 72° = 144° \).
  68. \( \angle ABC = 180° - 144° = 36° \).
  69. \( \angle BAC = \angle ACD = 180° - 144° = 36° \).
  70. \( \angle BAC = 36° \). \( \angle ACB = 72° \). \( \angle ABC = 36° \). Сумма углов в \( \triangle ABC \) = 36° + 72° + 36° = 144° (не 180°). Ошибка в рассуждениях.
  71. Вернемся к \( \triangle ACH \): \( \angle CAH = 72° \), \( \angle ACH = 18° \).
  72. \( \angle CAD = 72° \).
  73. В ромбе, \( \angle CAD = \angle BAC \).
  74. \( \angle BAC = 72° \).
  75. \( \angle ACB \) — биссектриса угла \( \angle BCD \).
  76. \( \angle ACD = \angle BAC = 72° \) (накрест лежащие).
  77. \( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD \).
  78. \( \angle ABC + \angle BCD = 180° \).
  79. \( \angle ABC + \angle ACB + \angle ACD = 180° \).
  80. \( \angle ABC = 180° - \angle BCD \).
  81. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
  82. \( 72° + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
  83. \( \angle ABC + \angle ACB = 108° \).
  84. \( \angle BCD = 180° - \angle ABC \). \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle BCD = \frac{1}{2}(180° - \angle ABC) = 90° - \frac{\angle ABC}{2} \).
  85. Подставляем в \( \angle ABC + \angle ACB = 108° \): \( \angle ABC + 90° - \frac{\angle ABC}{2} = 108° \). \( \frac{\angle ABC}{2} = 18° \). \( \angle ABC = 36° \).
  86. \( \angle ACB = 108° - 36° = 72° \).
  87. \( \angle ACD = \angle BAC = 72° \).
  88. \( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 72° + 72° = 144° \).
  89. \( \angle ABC = 36° \). \( 36° + 144° = 180° \). Верно.
  90. Итак, \( \angle ACB = 72° \).
  91. Биссектриса угла ACB делит этот угол пополам. Пусть CL — биссектриса \( \angle ACB \).
  92. \( \angle ACL = \angle LCB = \frac{1}{2} \times 72° = 36° \).
  93. Нам нужно найти угол между биссектрисой CL и стороной AB.
  94. \( \angle LAB = \angle CAB = 72° \).
  95. Угол между CL и AB.
  96. Рассмотрим \( \angle CLB \).
  97. \( \angle CLB = \angle LCB + \angle CBL = 36° + \angle ABC = 36° + 36° = 72° \).
  98. \( \angle CLB \) — это внешний угол для \( \triangle CAL \).
  99. \( \angle CLB = \angle LAC + \angle LCA = 72° + 36° = 108° \).
  100. Что-то не сходится. \( \angle CLB \) не может быть и 72°, и 108°.
  101. Посмотрим на углы: \( \angle ABC = 36° \) (острый). \( \angle BCD = 144° \) (тупой).
  102. \( \angle BAC = 72° \). \( \angle CAD = 72° \).
  103. \( \angle ACB = 72° \). \( \angle ACD = 72° \).
  104. \( \angle CAD = \angle ACB = 72° \).
  105. \( \angle BAC = \angle ACD = 72° \).
  106. Диагональ AC делит \( \angle BCD \) и \( \angle BAD \) пополам.
  107. \( \angle CAD = \angle BAC \). \( \angle ACB = \angle ACD \).
  108. Значит, \( \angle CAD = \angle ACB \) и \( \angle BAC = \angle ACD \).
  109. \( \angle CAD + \angle BAC = \angle BAD \).
  110. \( \angle ACB + \angle ACD = \angle BCD \).
  111. У нас \( \angle CAH = 72° \), \( \angle ACH = 18° \). \( \angle AHC = 90° \).
  112. \( \angle CAD = \angle CAH = 72° \).
  113. \( \angle ACB = \angle CAD = 72° \).
  114. \( \angle ACD = \angle BAC \).
  115. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \). \( \angle BAC + \angle ABC + 72° = 180° \). \( \angle BAC + \angle ABC = 108° \).
  116. \( \angle ABC + \angle BCD = 180° \). \( \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 72° + \angle ACD \).
  117. \( \angle ABC + 72° + \angle ACD = 180° \). \( \angle ABC + \angle ACD = 108° \).
  118. Так как \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( \angle ABC = \angle BAC \) (из \( \angle ABC + \angle BAC = 108° \) и \( \angle ABC + \angle ACD = 108° \)), то \( \angle ABC = \angle BAC = \angle ACD = \angle CAD = 72° \).
  119. Но \( \angle ABC \) — острый угол. \( 72° \) — острый.
  120. Тогда \( \angle BCD = 180° - 72° = 108° \).
  121. \( \angle ACB = \angle ACD = 108° / 2 = 54° \).
  122. \( \angle CAD = 72° \). \( \angle ACB = 54° \). \( \angle CAD \neq \angle ACB \). Противоречие.
  123. Вернемся к \( \triangle ACH \). \( \angle CAH = 72° \), \( \angle ACH = 18° \).
  124. \( \angle CAD = 72° \).
  125. \( \angle BAC = \angle CAD = 72° \).
  126. \( \angle ABC = 180° - 2 \times 72° = 180° - 144° = 36° \). \( \angle ABC \) — острый.
  127. \( \angle BCD = 180° - 36° = 144° \).
  128. \( \angle ACB = \angle ACD = 144° / 2 = 72° \).
  129. \( \angle ACB = 72° \).
  130. Биссектриса угла ACB. Пусть CL — биссектриса. \( \angle ACL = \angle LCB = \frac{1}{2} \times 72° = 36° \).
  131. Нам нужно найти угол между биссектрисой CL и стороной AB.
  132. Угол между CL и AB — это \( \angle CLB \). \( \angle CLB \) — внешний угол \( \triangle CAL \).
  133. \( \angle CLB = \angle CAL + \angle ACL = \angle CAB + \angle ACL = 72° + 36° = 108° \).
  134. Это тупой угол. Вопрос: "Найдите острый угол".
  135. Значит, нужно найти \( 180° - 108° = 72° \) или другой угол.
  136. Рассмотрим угол \( \angle CL A \). \( \angle CLA = 180° - \angle CLB = 180° - 108° = 72° \).
  137. Угол между CL и AB.
  138. Либо \( \angle CLB \), либо \( \angle CL A \) ? \( \angle CLB \) и \( \angle CL A \) — смежные.
  139. Если мы берем угол между прямой CL и прямой AB, то это может быть \( \angle CLB \) или \( \angle CLA \).
  140. Угол между биссектрисой CL и стороной AB.
  141. \( \angle CBL = \angle ABC = 36° \).
  142. В \( \triangle CLB \): \( \angle CLB = 180° - \angle LCB - \angle CBL = 180° - 36° - 36° = 108° \).
  143. Снова 108°.
  144. Возможно, биссектриса угла ACB — это AC? Нет, AC — диагональ.
  145. "Биссектриса угла ACB".
  146. \( \angle ACB = 72° \).
  147. Угол между биссектрисой CL и стороной AB.
  148. \( \angle CL A \) — это угол между CL и AB. \( \angle CL A = 72° \).
  149. \( \angle CL A \) — острый.
  150. \( \angle CL A \) — это угол между CL и AB.
  151. \( \angle CLA = 72° \).

Ответ: 72.