2. В ромбе MPKH диагонали пересекаются в точке O. На сторонах MK, KH, PH взяты точки A, B, C соответственно, AK = KB = PC. Докажите, что OA = OB, и найдите сумму углов POC и MOA.

Утверждение задачи в приведённом виде неверно: условия не обеспечивают ни равенства OA = OB, ни единственного значения суммы углов. Это видно на примере квадрата, который является частным случаем ромба.

Возьмём квадрат с вершинами M(−1, 0), P(0, 1), K(1, 0), H(0, −1), O(0, 0). Пусть AK = KB = PC = 0,2. Тогда A = (0,8; 0), B = (1 − 0,2/√2; −0,2/√2), C = (0; 0,6).

Получаем OA = 0,8, тогда как OB = √((1 − 0,2/√2)² + (0,2/√2)²) ≈ 0,87. Следовательно, OA ≠ OB. Кроме того, ∠POC = 0°, ∠MOA = 180°, и их сумма равна 180°.

Итак, доказать требуемое равенство по указанным данным нельзя. Вероятно, в условии пропущено дополнительное ограничение или допущена опечатка; для однозначного решения нужна исправленная формулировка.