2. В серии из 11 испытаний Бернулли вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна 0,2. Во сколько раз вероятность события А «наступит ровно 4 успеха» меньше вероятности события В «наступит ровно 3 успеха»?

Привет! Давай разберемся с этой задачей на испытания Бернулли.

Что нам дано:

• Общее количество испытаний (n) = 11
• Вероятность успеха в одном испытании (p) = 0,2
• Вероятность неудачи в одном испытании (q) = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8

Формула Бернулли:

Вероятность того, что в n испытаниях произойдет ровно k успехов, вычисляется по формуле:

\[ P(X=k) = C_n^k · p^k · q^{n-k} \]

Где:

• $$C_n^k$$ — число сочетаний из n по k, которое считается как $$ \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Шаг 1: Рассчитаем вероятность события А (ровно 4 успеха).

Здесь k = 4.

Сначала найдем число сочетаний $$C_{11}^4$$:

\[ C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 = 330 \]

Теперь рассчитаем саму вероятность P(A):

\[ P(A) = C_{11}^4 \cdot p^4 \cdot q^{11-4} = 330 \cdot (0,2)^4 \cdot (0,8)^7 \]

\[ P(A) = 330 \cdot 0,0016 \cdot 0,2097152 \approx 0,1091 \]

Шаг 2: Рассчитаем вероятность события В (ровно 3 успеха).

Здесь k = 3.

Сначала найдем число сочетаний $$C_{11}^3$$:

\[ C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165 \]

Теперь рассчитаем саму вероятность P(B):

\[ P(B) = C_{11}^3 \cdot p^3 \cdot q^{11-3} = 165 \cdot (0,2)^3 \cdot (0,8)^8 \]

\[ P(B) = 165 \cdot 0,008 \cdot 0,16777216 \approx 0,2206 \]

Шаг 3: Найдем, во сколько раз вероятность события А меньше вероятности события В.

Для этого разделим вероятность события В на вероятность события А:

\[ \text{Во сколько раз меньше} = \frac{P(B)}{P(A)} \]

\[ \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0,2206}{0,1091} \approx 2,022 \]

Ответ:

Вероятность события А «наступит ровно 4 успеха» примерно в 2,02 раза меньше вероятности события В «наступит ровно 3 успеха».