2. В таблице дано распределение случайной величины Х. Чему равно D(X)? Значен 1 ие Вероят 0,16 ность 2 0,19 3 0,02 4 0,06 5 0,11 6 0,06 7 0,15 8 0,25

Решение:

Дисперсия случайной величины X рассчитывается по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем математическое ожидание E(X):

• \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) \]
• \[ E(X) = (1 \cdot 0,16) + (2 \cdot 0,19) + (3 \cdot 0,02) + (4 \cdot 0,06) + (5 \cdot 0,11) + (6 \cdot 0,06) + (7 \cdot 0,15) + (8 \cdot 0,25) \]
• \[ E(X) = 0,16 + 0,38 + 0,06 + 0,24 + 0,55 + 0,36 + 1,05 + 2,00 \]
• \[ E(X) = 4,80 \]

Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины E(X^2):

• \[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(x_i) \]
• \[ E(X^2) = (1^2 \cdot 0,16) + (2^2 \cdot 0,19) + (3^2 \cdot 0,02) + (4^2 \cdot 0,06) + (5^2 \cdot 0,11) + (6^2 \cdot 0,06) + (7^2 \cdot 0,15) + (8^2 \cdot 0,25) \]
• \[ E(X^2) = (1 \cdot 0,16) + (4 \cdot 0,19) + (9 \cdot 0,02) + (16 \cdot 0,06) + (25 \cdot 0,11) + (36 \cdot 0,06) + (49 \cdot 0,15) + (64 \cdot 0,25) \]
• \[ E(X^2) = 0,16 + 0,76 + 0,18 + 0,96 + 2,75 + 2,16 + 7,35 + 16,00 \]
• \[ E(X^2) = 30,32 \]

Теперь рассчитаем дисперсию:

• \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
• \[ D(X) = 30,32 - (4,80)^2 \]
• \[ D(X) = 30,32 - 23,04 \]
• \[ D(X) = 7,28 \]