Ответ:

Предложения с грамматическими ошибками:

  1. «Дойти бы до тебя». Нарушено управление: дойти до кого?
  2. «Езжай на такси, но платить нечем». Нормативная форма повелительного наклонения — езжай.
  3. «Когда смотришь на город из окна, он кажется таким далёким». Деепричастный оборот должен относиться к действующему лицу; кроме того, по смыслу лучше использовать единственное число: из окна.
  4. «Две неравные половины спорят во мне». После числительного две прилагательное употребляется в форме именительного падежа множественного числа.
  5. «Реже вижусь с друзьями, ведь уменьшилось количество тех, кого я считал своими друзьями». Неправильно употреблено сочетание считал ими.

Предложения с речевыми ошибками:

  1. «Самый лучший день был вчера». Исправлена неудачная сочетаемость слов; нормативнее использовать форму лучший, но в разговорной речи сочетание самый лучший также употребляется.
  2. «Глядятся в ночь усталые глаза» → «Смотрят в ночь усталые глаза». Глагол глядеться обычно означает «отражаться, быть видимым в чём-либо».
  3. «Бриллиант весом в тысячу карат». Исправлено неточное управление.
  4. «Чтобы проложить путь наверх, нужно себя создать». Глагол выломать не сочетается со словом путь в данном значении.
  5. «Пока мир сходил с ума и повсюду были проблемы». Слово траблы является разговорно-сленговым; в нейтральной речи лучше употребить слово проблемы.

Фраза «Открываешь тяжёлые веки» сама по себе грамматически и лексически допустима как художественное выражение.