2. В торговом центре \(\frac{3}{7}\) всего персонала — продавцы и кассиры, \(\frac{7}{12}\) оставшегося персонала — технические работники, а остальные — менеджеры и администрация. а) Какую часть персонала составляют менеджеры и администрация? б) Сколько человек работает менеджерами и в администрации, если всего в торговом центре работает 483 человека?

Решение:

а) Найдём часть персонала, которая составляет менеджеров и администрацию.

1. Сначала найдём, какую часть персонала составляют продавцы, кассиры и технические работники вместе. Для этого приведём дроби \(\frac{3}{7}\) и \(\frac{7}{12}\) к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 12 равен 84.
2. \(\frac{3}{7} = \frac{3 \times 12}{7 \times 12} = \frac{36}{84}\)
3. \(\frac{7}{12} = \frac{7 \times 7}{12 \times 7} = \frac{49}{84}\)
4. Сложим эти части: \(\frac{36}{84} + \frac{49}{84} = \frac{36+49}{84} = \frac{85}{84}\).
5. Получилось, что продавцы, кассиры и технические работники составляют \(\frac{85}{84}\) часть персонала. Это больше, чем 1 (целое), что означает ошибку в условии задачи или в наших расчетах. Давайте проверим.

6. Переосмысление условия: Условие задачи может означать, что \(\frac{7}{12}\) — это часть от оставшегося персонала после продавцов и кассиров. Давайте попробуем такой вариант.

7. Часть персонала, которая является продавцами и кассирами: \(\frac{3}{7}\).
8. Часть персонала, которая является техническими работниками (от всего персонала): \(1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\).
9. Часть персонала, которая является техническими работниками (от оставшихся): \(\frac{7}{12} \times \frac{4}{7} = \frac{1}{12}\).

10. Переосмысление условия №2: В условии написано «\(\frac{7}{12}\) оставшегося персонала — технические работники». Это может означать, что \(\frac{7}{12}\) — это часть от всего персонала, и именно эта часть приходится на тех. работников. Если это так, то суммарно продавцы, кассиры и технические работники составляют: \(\frac{3}{7} + \frac{7}{12} = \frac{36}{84} + \frac{49}{84} = \frac{85}{84}\). Это опять больше единицы. Значит, формулировка «оставшегося персонала» относится только к техническим работникам. Попробуем вариант, где \(\frac{7}{12}\) — это часть от всего персонала.

11. Давайте интерпретируем условие так: \(\frac{3}{7}\) всего персонала — продавцы и кассиры. \(\frac{7}{12}\) всего персонала — технические работники.
12. Суммарная доля продавцов, кассиров и тех. работников: \(\frac{3}{7} + \frac{7}{12} = \frac{3 \times 12}{7 \times 12} + \frac{7 \times 7}{12 \times 7} = \frac{36}{84} + \frac{49}{84} = \frac{85}{84}\).

13. Проблема: Сумма частей больше 1. Такая постановка задачи некорректна, так как части персонала не могут в сумме превышать целое (100%).

    Предположим, что \(\frac{7}{12}\) — это часть от оставшихся после продавцов и кассиров.

14. Часть персонала, которая является продавцами и кассирами: \(\frac{3}{7}\).
15. Часть персонала, которая НЕ является продавцами и кассирами: \(1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}\).
16. Технические работники составляют \(\frac{7}{12}\) от этой оставшейся части: \(\frac{7}{12} \times \frac{4}{7} = \frac{1}{3}\).
17. Теперь найдём часть менеджеров и администрации. Она будет равна: \(1 - \text{(часть продавцов и кассиров)} - \text{(часть тех. работников)}\)
18. \(1 - \frac{3}{7} - \frac{1}{3}\). Приведём к общему знаменателю 21: \(\frac{21}{21} - \frac{3 \times 3}{7 \times 3} - \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{21}{21} - \frac{9}{21} - \frac{7}{21} = \frac{21 - 9 - 7}{21} = \frac{5}{21}\).

а) Часть персонала, которая составляет менеджеры и администрация, равна \(\frac{5}{21}\).

б) Найдём, сколько человек работает менеджерами и в администрации.

Всего в торговом центре работает 483 человека. Менеджеры и администрация составляют \(\frac{5}{21}\) от всего персонала.

Количество менеджеров и администраторов = \(\frac{5}{21} \times 483\).

Выполним умножение:

\(\frac{5}{21} \times 483 = 5 \times \frac{483}{21}\)

Разделим 483 на 21:

\(483 \div 21 = 23\)

Теперь умножим 5 на 23:

\(5 \times 23 = 115\)

б) Менеджерами и в администрации работает 115 человек.

Проверка:

• Продавцы и кассиры: \(\frac{3}{7} \times 483 = 3 \times 69 = 207\) человек.
• Оставшаяся часть: \(483 - 207 = 276\) человек.
• Технические работники (\(\frac{7}{12}\) от оставшихся): \(\frac{7}{12} \times 276 = 7 \times 23 = 161\) человек.
• Менеджеры и администрация: \(115\) человек.
• Общая сумма: \(207 + 161 + 115 = 483\) человека. Расчеты верны.

Ответ: а) \(\frac{5}{21}\); б) 115 человек.