2. В трапеции ABCD AB || CD, AB = 3CD. Выразите через векторы $\vec m=\vec{DA}$ и $\vec n=\vec{DC}$ векторы $\vec{AM}$ и $\vec{NM}$, где M — середина стороны BC, а N — точка на стороне AB, такая, что AN:NB = 2:3.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В трапеции ABCD AB || CD, AB = 3CD. Выразите через векторы $\vec m=\vec{DA}$ и $\vec n=\vec{DC}$ векторы…$ Фото задания

2. В трапеции ABCD AB || CD, AB = 3CD. Выразите через векторы $\vec m=\vec{DA}$ и $\vec n=\vec{DC}$ векторы $\vec{AM}$ и $\vec{NM}$, где M — середина стороны BC, а N — точка на стороне AB, такая, что AN:NB = 2:3.

Accepted Answer

Так как $\vec{AB}$ направлен противоположно $\vec{DC}=\vec n$, а $AB=3CD$, то $\vec{AB}=-3\vec n$. Возьмём точку D за начало отсчёта: тогда $\vec{DA}=\vec m$, $\vec{DC}=\vec n$, а положение точки B задаётся вектором $\vec{DB}=\vec m-3\vec n$.

Поскольку M — середина BC, её радиус-вектор равен среднему радиус-векторов B и C:

\[\vec{DM}=\frac{(\vec m-3\vec n)+\vec n}{2}=\frac12\vec m-\vec n.\]

Тогда

\[\vec{AM}=\vec{DM}-\vec{DA}=-\frac12\vec m-\vec n.\]

Из отношения $AN:NB=2:3$ следует $\vec{AN}=\frac25\vec{AB}=-\frac65\vec n$, поэтому $\vec{DN}=\vec m-\frac65\vec n$. Следовательно,

\[\vec{NM}=\vec{DM}-\vec{DN}=-\frac12\vec m+\frac15\vec n.\]

Ответ: $\vec{AM}=-\frac12\vec m-\vec n$, $\vec{NM}=-\frac12\vec m+\frac15\vec n$.