2. В трапеции ABCD AD ∥ BC, AB = CD; M и N — середины боковых сторон AB и CD; CH ⟂ AD. Доказать, что AH = MN. На доске также указано условие AB ∦ CD, которое для доказательства не используется.

Обозначим длины оснований: AD = d, BC = b.

1. Так как M и N — середины боковых сторон трапеции, отрезок MN является средней линией трапеции.
2. По свойству средней линии MN = (AD + BC) / 2 = (d + b) / 2.
3. Опустим из точки B перпендикуляр на AD и обозначим его основание через K. Поскольку AB = CD, а AD ∥ BC, получаются равные прямоугольные треугольники у боковых сторон. Поэтому AK = HD.
4. Так как KH = BC = b, то AD = AK + KH + HD = 2AK + b.
5. Следовательно, AH = AK + KH = AK + b = (AD + BC) / 2.
6. Но MN = (AD + BC) / 2. Значит, AH = MN.

Ответ: AH = MN.