2. В трапеции ABCD на основании AD выбрана точка E так, что BE — биссектриса угла B. Оказалось, что BC+DE=AE. Докажите, что BC+3DE>CD.

Замечание: строгое неравенство верно, если E — внутренняя точка основания AD, то есть DE>0. Если точка E может совпадать с D, утверждение неверно; контрпример приведён ниже.

Так как BC ∥ AD, то ∠EBC = ∠BEA. По условию BE — биссектриса, поэтому ∠ABE = ∠EBC. Следовательно, ∠ABE = ∠BEA, а значит, AB = AE.

Обозначим x = BC, y = DE. При E внутри AD имеем y>0, AE = x+y по условию и AD = AE+DE = x+2y.

Введём координаты: A=(0,0), E=(x+y,0), D=(x+2y,0), B=(u,h), C=(u+x,h), где h>0. Из AB=AE следует u²+h²=(x+y)². Тогда

CD² = (2y−u)²+h².

Сравним квадраты искомых величин:

(x+3y)²−CD² = (x+3y)²−((2y−u)²+h²) = 4y(x+y+u).

Поскольку h>0 и u²+h²=(x+y)², получаем u>−(x+y). Вместе с y>0 это даёт 4y(x+y+u)>0. Значит, CD²<(x+3y)². Обе длины положительны, поэтому CD<x+3y=BC+3DE.

Если E=D: например, в квадрате ABCD со стороной 1 диагональ BD является биссектрисой угла B, а BC+DE=1=AE. Но BC+3DE=1=CD, так что строгое неравенство не выполняется. Значит, без условия DE>0 формулировка требует уточнения.