2. В трапеции ABCD основания AB = 30 и DC = 10. Известно, что диагонали трапеции перпендикулярны, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45°. Найдите высоту трапеции.

Обозначим через O точку пересечения продолжений боковых сторон. Поскольку AB ∥ DC, треугольники OAB и ODC подобны, а отношение соответствующих сторон равно AB : DC = 3 : 1. Поэтому расстояние между параллельными основаниями составляет 2/3 высоты треугольника OAB.

Угол AOB равен 45° (это угол между прямыми, содержащими боковые стороны). Пусть основание AB имеет длину 30, а высота треугольника OAB, опущенная на AB, равна H. Если расстояния от O до концов AB по прямой AB равны x и 30 − x, то, поскольку угол между боковыми сторонами 45°, выполняется H = x + (30 − x) = 30.

Высота трапеции равна 2H/3 = 20. Условие перпендикулярности диагоналей согласуется с данными: для такого расположения горизонтальные проекции диагоналей относятся как 10 и 30, и их произведение равно квадрату высоты трапеции.

Ответ: 20.