2. В трапеции ABCD основания AD и BC относятся как 3 : 1. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. а) Выразите \(\overrightarrow{AC}\) через \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\). б) Выразите \(\overrightarrow{BO}\) через \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AO}\). в) Выразите \(\overrightarrow{AO}\) через \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{DM}\), если точки E и M — середины сторон AB и BC соответственно. г)* Докажите, что \(\overrightarrow{DE}=\frac23\overrightarrow{DA}+\frac12\overrightarrow{DC}\), если точка E — середина стороны AB.

Так как основания параллельны и \(|AD|:|BC|=3:1\), их векторы сонаправлены: \(\overrightarrow{BC}=\frac13\overrightarrow{AD}\). Диагонали трапеции делятся точкой пересечения пропорционально основаниям: \(AO:OC=AD:BC=3:1\), поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac34\overrightarrow{AC}\).

1. По правилу сложения векторов по ломаной:

   \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}.\)

2. Из соотношения диагоналей \(\overrightarrow{AO}=\frac34\overrightarrow{AC}\), значит \(\overrightarrow{AC}=\frac43\overrightarrow{AO}\). Тогда \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\frac13\overrightarrow{AD}\), и

   \(\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}+\frac14\overrightarrow{BD}=\frac14\overrightarrow{BD}=\frac14(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\frac13(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AO}).\)

   Здесь точнее непосредственно: \(\overrightarrow{BO}=\frac14\overrightarrow{BD}\), поскольку \(BO:OD=BC:AD=1:3\).

3. Обозначим \(\overrightarrow{DA}=\vec a\), \(\overrightarrow{DC}=\vec c\). Из середины AB следует \(\overrightarrow{DE}=\frac23\vec a+\frac12\vec c\); из середины BC получаем \(\overrightarrow{DM}=\frac16\vec a+\vec c\). Кроме того, \(\overrightarrow{AO}=\frac34\overrightarrow{AC}=\frac34(\vec c-\vec a)\). Подстановка выражений для \(\vec a,\vec c\) даёт:

   \(\overrightarrow{AO}=\frac32(\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DE}).\)

4. Поскольку E — середина AB, \(\overrightarrow{DE}=\frac12(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB})\). А \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\frac13\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}+\frac13\overrightarrow{DA}\). Следовательно,

   \(\overrightarrow{DE}=\frac12\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\frac13\overrightarrow{DA}\right)=\frac23\overrightarrow{DA}+\frac12\overrightarrow{DC}.\)

Ответ: а) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AD}\); б) \(\overrightarrow{BO}=\frac13(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AO})\); в) \(\overrightarrow{AO}=\frac32(\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{DE})\); г) доказано.