№ 2. В трапеции ABCD основания BC ∥ AD. Точки M и N — середины боковых сторон: AM = MB = CN = ND. BK ⟂ AD, AK = 3, BC = 7. Найти MN.

Поскольку \(AM=MB=CN=ND\), боковые стороны равны: \(AB=CD\). Следовательно, трапеция равнобедренная, а выступы большего основания по краям равны.

1. Опустим из C перпендикуляр к AD с основанием H. Высоты трапеции равны, а боковые стороны AB и CD равны, поэтому прямоугольные треугольники ABK и DCH равны. Значит, \(DH=AK=3\).
2. Так как BC ∥ AD, отрезок KH равен верхнему основанию: \(KH=BC=7\). Поэтому \(AD=AK+KH+HD=3+7+3=13\).
3. MN соединяет середины боковых сторон, поэтому это средняя линия трапеции: \(MN=\frac{BC+AD}{2}=\frac{7+13}{2}=10\).

Ответ: MN = 10.