№2. В треугольник ДАВС вписана окружность. 1) ∠ABC = 70°, ∠ACB = 56°. Найдите ∠COB, ∠AOB, ∠AOC. 2) AM = 4 см, BK = 5 см, CH = 7 см. Найдите РДАВС

Решение:

1) Нахождение углов:

1. Сначала найдём угол \( \angle BAC \) в треугольнике \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):
   \[ \angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 56^{\circ} = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ} \]
2. Точка О является центром вписанной окружности, значит, лучи AO, BO, CO являются биссектрисами углов \( \angle BAC \), \( \angle ABC \), \( \angle ACB \) соответственно.
3. Найдём углы \( \angle OBC \) и \( \angle OCB \):
   \[ \angle OBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \]
   \[ \angle OCB = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{56^{\circ}}{2} = 28^{\circ} \]
4. Теперь найдём угол \( \angle COB \) в треугольнике \( \triangle OBC \>):
   \[ \angle COB = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 28^{\circ} = 180^{\circ} - 63^{\circ} = 117^{\circ} \]
5. Найдём углы \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \>):
   \[ \angle OAB = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{54^{\circ}}{2} = 27^{\circ} \]
   \[ \angle OBA = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \]
6. Найдём угол \( \angle AOB \) в треугольнике \( \triangle OAB \>):
   \[ \angle AOB = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 35^{\circ} = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ} \]
7. Найдём углы \( \angle OAC \) и \( \angle OCA \>):
   \[ \angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{54^{\circ}}{2} = 27^{\circ} \]
   \[ \angle OCA = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{56^{\circ}}{2} = 28^{\circ} \]
8. Найдём угол \( \angle AOC \) в треугольнике \( \triangle OAC \>):
   \[ \angle AOC = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle OCA = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 28^{\circ} = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \]

2) Нахождение периметра:

Точки M, K, H — точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Из свойств касательных, проведённых из одной точки к окружности, следует:

• \( AM = AK \), \( BM = BK \), \( CK = CH \) (это неверно, точки касания должны быть на сторонах, а не вершины. Давайте переосмыслим по рисунку и условию.)

По рисунку и условию, AM, BK, CH — отрезки от вершин до точек касания вписанной окружности. Но в условии даны отрезки AM, BK, CH, которые, по их расположению на рисунке, являются отрезками от вершин до точек на сторонах, что не всегда является точками касания. Однако, если предположить, что M, K, H — точки касания, то:

\( AM = AK \), \( BM = BK \), \( CH = CP \) (где P — точка касания на AC). Но по рисунку M на AC, K на BC, H на AB. Значит, должны быть:

• \( AM = AH \)
• \( BM = BK \)
• \( CK = CH \)

Однако, в условии задачи дано M на AC, K на BC, H на AB. Следовательно, отрезки должны быть:

• \( AM = AH \)
• \( BK = BM \)
• \( CH = CK \)

Согласно условию задачи и рисунку, у нас есть:

• \( AM = 4 \) см. Значит, \( AH = 4 \) см.
• \( BK = 5 \) см. Значит, \( BM = 5 \) см.
• \( CH = 7 \) см. Значит, \( CK = 7 \) см.

Стороны треугольника ABC будут равны:

• \( AB = AH + HB = AM + MB \). Нам дано BK = 5. Если K — точка касания, то BK = BM, но на рисунке BK — отрезок от вершины B до точки K на стороне AC. Это противоречие.

Переосмысление задачи 2.2:

Предположим, что M, K, H — точки касания вписанной окружности на сторонах AC, BC, AB соответственно (хотя на рисунке точки обозначены иначе). В таком случае:

• \( AM = AH \), \( BK = BM \), \( CH = CK \).

По условию:

• \( AM = 4 \) см. Значит, \( AH = 4 \) см.
• \( BK = 5 \) см. Значит, \( BM = 5 \) см.
• \( CH = 7 \) см. Значит, \( CK = 7 \) см.

Тогда стороны треугольника равны:

• \( AC = AM + MC \). Здесь M — точка на AC. Если M — точка касания, то MC = CK = 7 см. Следовательно, \( AC = 4 + 7 = 11 \) см.
• \( BC = BK + KC \). Здесь K — точка на BC. Если K — точка касания, то BK = BM = 5 см. Следовательно, \( BC = 5 + 7 = 12 \) см.
• \( AB = AH + HB \). Здесь H — точка на AB. Если H — точка касания, то AH = AM = 4 см, а HB = BK = 5 см. Следовательно, \( AB = 4 + 5 = 9 \) см.

Периметр \( P_{\triangle ABC} \) равен сумме длин всех сторон:

\[ P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 9 + 12 + 11 = 32 \] см.

Примечание: Обозначения точек на рисунке (M, K, H) и в условии задачи (AM, BK, CH) могут вводить в заблуждение. Предполагается, что M, K, H — точки касания, и отрезки от вершин до точек касания равны, как указано выше.

Ответ: 1) ∠COB = 117°, ∠AOB = 118°, ∠AOC = 125°; 2) P_△ABC = 32 см.