№ 2. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки P и P₁ так, что AP = A₁P₁. Докажите, что △BPC = △B₁P₁C₁.

Так как AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁, вычитаем равные отрезки: BP = AB − AP = A₁B₁ − A₁P₁ = B₁P₁.

Поскольку P лежит на стороне AB, а P₁ — на стороне A₁B₁, углы PAC и P₁A₁C₁ равны углам A и A₁. Значит, они равны. Кроме того, AP = A₁P₁ и AC = A₁C₁. Поэтому △APC = △A₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними, откуда PC = P₁C₁.

Из условия AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁ следует, что △ABC = △A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому BC = B₁C₁.

Итак, BP = B₁P₁, PC = P₁C₁ и BC = B₁C₁. Следовательно, △BPC = △B₁P₁C₁ по трём сторонам.