№2. В треугольнике ABC: ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 10 см. Найти AC и R.

Сначала найдём третий угол:

\(\angle C=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{BC}{\sin A}\).

Тогда

\(AC=\dfrac{BC\cdot\sin B}{\sin A}=\dfrac{10\cdot\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=\dfrac{10\cdot\frac12}{\frac{\sqrt2}{2}}=5\sqrt2\) см.

Для радиуса описанной окружности используем формулу \(\dfrac{BC}{\sin A}=2R\):

\(2R=\dfrac{10}{\sin45^\circ}=\dfrac{10}{\frac{\sqrt2}{2}}=10\sqrt2\), поэтому \(R=5\sqrt2\) см.

Ответ: \(AC=5\sqrt2\) см, \(R=5\sqrt2\) см.