2. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, высота AH равна 6. Найдите синус угла BAC.

Так как AH — высота к стороне BC, площадь треугольника можно выразить двумя способами: через основание BC и высоту AH, а также через основание AB и высоту из C.

Пусть высота из C к AB равна h. Тогда \(S_{ABC}=\frac12 BC\cdot 6=\frac12\cdot 8\cdot h\), поэтому \(BC=\frac{4h}{3}\).

Из равенства AC = BC следует, что треугольник равнобедренный с основанием AB. Высота из C делит AB пополам, поэтому по теореме Пифагора \(BC^2=4^2+h^2\).

Подставим выражение для BC: \(\left(\frac{4h}{3}\right)^2=16+h^2\), откуда \(\frac{7h^2}{9}=16\) и \(h=\frac{12}{\sqrt7}\). Тогда \(AC=BC=\frac{4h}{3}=\frac{16}{\sqrt7}\).

Синус угла BAC равен отношению противолежащей высоты из C к стороне AC:

\[\sin\angle BAC=\frac{h}{AC}=\frac{12/\sqrt7}{16/\sqrt7}=\frac34.\]

Ответ: \(\frac34\).