2. В треугольнике ABC ∠B = 90°, AB = BC. На сторонах AB и BC взяты точки M и P, а на стороне AC — точки K и H так, что четырёхугольник MPHK является квадратом, MP = a. Найдите AC.

Обозначим AB = BC = L и расположим треугольник в координатной плоскости: B = (0, 0), A = (L, 0), C = (0, L). Тогда AC задаётся уравнением x + y = L.

Так как H и K лежат на AC, сторона HK квадрата лежит на AC. Противоположная сторона MP параллельна HK, поэтому MP ∥ AC. Значит, если M = (m, 0), то P = (0, m).

Длина MP равна a, следовательно, по теореме Пифагора \(a^2=m^2+m^2\), то есть \(a=m\sqrt{2}\).

Перпендикулярная MP сторона квадрата имеет направление (1, 1) и длину a. Поэтому её вектор — (m, m). При обходе вершин M–P–H–K получаем H = P + (m, m) = (m, 2m), а K = M + (m, m) = (2m, m). Обе точки принадлежат AC, и для каждой сумма координат равна 3m. Значит, L = 3m.

Тогда \(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=L\sqrt{2}=3m\sqrt{2}=3a\).

Ответ: \(AC=3a\).