2. В треугольнике ABC B₁ — середина AC, M — точка пересечения медиан. а) Выразите $\overrightarrow{MB_1}$ через $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{MC}$. б) Выразите $\overrightarrow{CM}$ через $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CA}$. в) Выразите $\overrightarrow{MA_1}$ через $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, если A₁ ∈ BC и BA₁:A₁C = 1:2. г) Используя векторы, докажите, что середина отрезка BB₁ лежит на прямой AA₁, если A₁ ∈ BC и BA₁:A₁C = 1:2.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. В треугольнике ABC B₁ — середина AC, M — точка пересечения медиан. а) Выразите $\overrightarrow{MB_1}$ через…$ Фото задания

2. В треугольнике ABC B₁ — середина AC, M — точка пересечения медиан. а) Выразите $\overrightarrow{MB_1}$ через $\overrightarrow{MA}$ и $\overrightarrow{MC}$. б) Выразите $\overrightarrow{CM}$ через $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CA}$. в) Выразите $\overrightarrow{MA_1}$ через $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, если A₁ ∈ BC и BA₁:A₁C = 1:2. г) Используя векторы, докажите, что середина отрезка BB₁ лежит на прямой AA₁, если A₁ ∈ BC и BA₁:A₁C = 1:2.

Accepted Answer

а) Так как B₁ — середина AC, вектор к середине равен среднему арифметическому векторов к концам:

$\overrightarrow{MB_1}=\dfrac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}}{2}$.

б) Точка M — центр тяжести треугольника, поэтому делит медиану из C в отношении $CM:MB=2:1$. Следовательно, $\overrightarrow{CM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB_1}$. Поскольку B₁ — середина AC,

$\overrightarrow{CB_1}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$, откуда

$\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}$.

Но запрос требует выразить вектор через $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CA}$. Векторное равенство для центра тяжести имеет вид $\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$, так как медиана из C направлена к середине AB. Поэтому

$\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}$.

в) Из условия $BA_1:A_1C=1:2$ следует, что $\overrightarrow{BA_1}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Тогда

$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Так как $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, получаем

$\overrightarrow{AA_1}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Формулировка на изображении, вероятно, просит выразить $\overrightarrow{MA_1}$, однако из заданных только $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ его выразить нельзя без положения M относительно A. Если подразумевался вектор $\overrightarrow{AA_1}$, его выражение приведено выше.

г) Обозначим через D середину BB₁. Возьмём A за начало отсчёта, а $\overrightarrow{AB}=\mathbf b$, $\overrightarrow{AC}=\mathbf c$. Тогда $\overrightarrow{AB_1}=\dfrac12\mathbf c$, и

$\overrightarrow{AD}=\dfrac12(\mathbf b+\dfrac12\mathbf c)=\dfrac12\mathbf b+\dfrac14\mathbf c$.

По пункту в) $\overrightarrow{AA_1}=\dfrac23\mathbf b+\dfrac13\mathbf c$. Сравним:

$\overrightarrow{AD}=\dfrac34\overrightarrow{AA_1}$.

Значит, векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AA_1}$ пропорциональны, поэтому точки A, D и A₁ лежат на одной прямой. Следовательно, середина отрезка BB₁ лежит на прямой AA₁.

Ответ: