2. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC.

Обозначим длину медианы и биссектрисы через m=164. Выберем координаты так, чтобы D=(0,0), A=(m,0). Поскольку D — середина BC, зададим B=(p,q), C=(-p,-q). Условие BE\(\perp\) AD означает, что E имеет ту же абсциссу p, что и B.

Точка E лежит на AC. Из координатного деления отрезка AC следует, что её ордината равна −q(p−m)/(p+m). Поэтому BE=|2pq/(p+m)|=m.

По теореме о биссектрисе AE/EC=AB/BC. Подстановка выражений из координат даёт (p−m)^2(p^2+q^2)=p^2((p−m)^2+q^2), откуда q^2m(m−2p)=0. Для невырожденного треугольника q\(\ne\)0, поэтому p=m/2. Из условия BE=m тогда следует |q|=m.

Теперь вычислим стороны:

• AB=\(\sqrt{(m/2)^2+m^2}\)=m\(\sqrt{5}\)/2;
• BC=2\(\sqrt{(m/2)^2+m^2}\)=m\(\sqrt{5}\);
• AC=\(\sqrt{(3m/2)^2+m^2}\)=m\(\sqrt{13}\)/2.

При m=164 получаем стороны 82\(\sqrt{5}\), 164\(\sqrt{5}\) и 82\(\sqrt{13}\).

Ответ: 82√5, 164√5 и 82√13.