2. В треугольнике ABC: ∠C = 70°, ∠B = 30°, AB = 20, BC = 10√3. Найти AC.

Данные противоречат друг другу. По сумме углов треугольника ∠A = 180° − 70° − 30° = 80°.

По теореме синусов должно быть \(\frac{AB}{BC}=\frac{\sin 70°}{\sin 80°}\), то есть \(AB\approx 17.75\), а не 20. Поэтому треугольника с указанными данными не существует и однозначно найти AC нельзя.

Если считать верными стороны AB = 20, BC = 10√3 и угол между ними ∠B = 30°, то по теореме косинусов \(AC^2=20^2+(10\sqrt{3})^2-2\cdot20\cdot10\sqrt{3}\cos30°=100\), откуда AC = 10. Но при этом угол C не равен 70°.

Ответ: условие несовместно; при использовании сторон и угла B получается AC = 10.