2. В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 15°, BC = 11 см. На катете АС отметили точку М так, что ∠BMC = 30°. Найдите отрезок АМ.

Решение:

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \angle A = 15^{\circ} \)
• \( BC = 11 \) см
• Точка M на AC
• \( \angle BMC = 30^{\circ} \)

Найти:

• \( AM \)

Ход решения:

1. В прямоугольном треугольнике ABC найдём \( \angle B \): \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике BCM найдем угол \( \angle CBM \): \( \angle CBM = 90^{\circ} - \angle BMC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
3. В треугольнике ABC используем теорему синусов для нахождения AC: \( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \). \( AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{11 \cdot \sin(75^{\circ})}{\sin(15^{\circ})} \).
4. Рассчитаем \( \sin(75^{\circ}) \) и \( \sin(15^{\circ}) \): \( \sin(75^{\circ}) = \sin(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) + \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \). \( \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).
5. Подставим значения синусов в формулу для AC: \( AC = \frac{11 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = 11 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \).
6. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{6} + \sqrt{2} \): \( AC = 11 \cdot \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = 11 \cdot \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = 11 \cdot \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 11 \cdot (2 + \sqrt{3}) = 22 + 11\sqrt{3} \) см.
7. В прямоугольном треугольнике BCM найдём CM: \( \tan(\angle BMC) = \frac{BC}{CM} \). \( CM = \frac{BC}{\tan(\angle BMC)} = \frac{11}{\tan(30^{\circ})} = \frac{11}{1/\sqrt{3}} = 11\sqrt{3} \) см.
8. Найдем AM: \( AM = AC - CM = (22 + 11\sqrt{3}) - 11\sqrt{3} = 22 \) см.

Ответ: 22 см.