2. В треугольнике ABC медиана BM равна половине стороны AC. Найдите величину угла ABC.

Обозначим \(AB=c\), \(BC=a\), \(AC=b\). По теореме Аполлония для медианы BM:

\[AB^2+BC^2=2\left(BM^2+AM^2\right).\]

Так как \(BM=\frac{AC}{2}=\frac b2\), а \(AM=\frac b2\), получаем:

\[c^2+a^2=2\left(\frac{b^2}{4}+\frac{b^2}{4}\right)=b^2.\]

Значит, \(AB^2+BC^2=AC^2\). По обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный, причём сторона AC — гипотенуза. Следовательно, прямой угол расположен при вершине B.

Ответ: \(\angle ABC=90^\circ\).