2. В треугольнике ABC медиана BM в два раза меньше стороны AB и образует с ней угол 50°. Найдите угол ABC.

Обозначим длину AB через a. Тогда BM = a/2, а ∠ABM = 50°.

Поскольку M — середина AC, векторно можно записать: отрезок BC соответствует удвоенному вектору BM за вычетом вектора BA. Возьмём BA за направление оси, направленной вправо. Тогда проекция BC на это направление равна a cos 50° − a, а перпендикулярная составляющая равна a sin 50°. Проекция отрицательна, поэтому угол ABC тупой.

Острый угол между BC и продолжением BA влево равен α, где

tan α = (a sin 50°) / (a − a cos 50°) = sin 50° / (1 − cos 50°) = cot 25°.

Следовательно, α = 65°, и ∠ABC = 180° − 65° = 115°.

Ответ: ∠ABC = 115°.